La recherche en infographie et en traitement géométrique fournit des outils essentiels pour simuler des phénomènes physiques tels que le feu et les flammes, ce qui facilite la création d’effets visuels dans les jeux vidéo et les films, ainsi que la fabrication de formes géométriques complexes via des technologies comme l’impression 3D.
Au cœur de ces simulations se trouvent des équations mathématiques appelées équations aux dérivées partielles (EDP), qui modélisent ces processus naturels. Parmi les nombreuses EDP utilisées en physique et en infographie, les EDP paraboliques de second ordre sont particulièrement importantes car elles expliquent comment les phénomènes évoluent de manière fluide au fil du temps. L’exemple le plus connu de cette classe est l’équation de la chaleur, qui décrit la diffusion de la chaleur sur une surface ou dans un volume au fil du temps.
Les chercheurs en traitement géométrique ont développé divers algorithmes pour résoudre ces problèmes sur des surfaces courbes, mais ces méthodes sont souvent limitées à des problèmes linéaires ou à une seule EDP. Une approche plus générale, développée par des chercheurs du Laboratoire d’informatique et d’intelligence artificielle (CSAIL) du MIT, s’attaque à une classe plus large de ces problèmes, y compris ceux potentiellement non linéaires.
Dans un article récemment publié dans le journal Transactions on Graphics et présenté à la conférence SIGGRAPH, les chercheurs décrivent un algorithme qui résout différentes EDP paraboliques non linéaires sur des maillages triangulaires. Leur méthode divise ces EDP en trois équations plus simples, qui peuvent être résolues avec des techniques déjà disponibles dans les outils logiciels des chercheurs en graphisme. Ce cadre permet de mieux analyser les formes et de modéliser des processus dynamiques complexes.
"Nous proposons une méthode : si vous souhaitez résoudre numériquement une EDP parabolique de second ordre, vous pouvez suivre une série de trois étapes", explique Leticia Mattos Da Silva, doctorante au MIT en génie électrique et informatique (EECS) et affiliée au CSAIL. "Pour chacune de ces étapes, vous résolvez un problème plus simple avec des outils de traitement géométrique plus simples, mais à la fin, vous obtenez une solution à l’EDP parabolique de second ordre, plus complexe."
Pour ce faire, Da Silva et ses coauteurs ont utilisé le fractionnement Strang, une technique qui permet de décomposer l’EDP en problèmes plus simples. Leur algorithme avance une solution dans le temps en résolvant d’abord l’équation de la chaleur, qui modélise la diffusion de la chaleur sur une forme. Cette étape peut être réalisée facilement avec l’algèbre linéaire.
Ensuite, pour les comportements non linéaires supplémentaires, l’algorithme résout une équation de Hamilton-Jacobi (HJ), une EDP non linéaire de premier ordre. Bien que les équations HJ génériques puissent être difficiles à résoudre, les chercheurs montrent que leur méthode de division produit une équation HJ qui peut être résolue via des algorithmes d’optimisation convexes, pour lesquels des logiciels efficaces et fiables existent déjà.
Enfin, l’algorithme utilise à nouveau l’équation de la chaleur pour avancer dans le temps l’EDP parabolique de second ordre plus complexe.
Ce cadre pourrait notamment aider à simuler plus efficacement le feu et les flammes. "Il existe un énorme pipeline pour créer des vidéos avec des flammes simulées, mais au cœur de celui-ci se trouve un solveur EDP", explique Mattos Da Silva. Leur méthode pourrait résoudre l’équation G, une EDP parabolique non linéaire qui modélise la propagation frontale de la flamme.
L’algorithme de l’équipe peut également résoudre l’équation de diffusion dans le domaine logarithmique, où elle devient non linéaire. Justin Solomon, professeur agrégé à l’EECS et chef du groupe de traitement des données géométriques du CSAIL, a précédemment développé une technique pour un transport optimal nécessitant de prendre le logarithme du résultat de la diffusion de chaleur. Le cadre de Mattos Da Silva a permis des calculs plus fiables en effectuant une diffusion directement dans le domaine logarithmique, offrant une manière plus stable de trouver une moyenne géométrique parmi les distributions sur des maillages de surface, comme un modèle de koala.
Bien que leur cadre se concentre sur des problèmes non linéaires généraux, il peut également être utilisé pour résoudre des EDP linéaires. Par exemple, il résout l’équation de Fokker-Planck, où la chaleur se diffuse de manière linéaire mais avec des termes supplémentaires qui dérivent dans la même direction que la chaleur. Dans une application simple, leur approche a modélisé l’évolution des tourbillons sur la surface d’une sphère triangulée, produisant un résultat visuellement similaire à un latte art violet et marron.
Les chercheurs considèrent ce projet comme un point de départ pour aborder d’autres EDP non linéaires dans le traitement graphique et géométrique. Ils souhaitent également appliquer leur travail aux surfaces en mouvement et résoudre des problèmes impliquant plusieurs EDP paraboliques couplées, comme ceux rencontrés en biologie et en chimie.
L’article a été coécrit par Mattos Da Silva, Justin Solomon, et Oded Stein, professeur adjoint à la Viterbi School of Engineering de l’Université de Californie du Sud. Leur travail a été soutenu par diverses institutions, dont le MIT Schwarzman College of Computing, Google, MathWorks, le Fonds national suisse pour la recherche scientifique, l’armée américaine, l’US Air Force, la Fondation nationale américaine pour la science, le MIT-IBM Watson AI Lab, le centre de recherche commun Toyota-CSAIL, Adobe Systems et Google Research.
